Répartition des compléments d'algèbre et géométrie

Cette page sert aux enseignants pour répartir entre eux les compléments de cours d'algèbre et géométrie. Pour les compléments de cours d'analyse et probabilités, c'est ici.

Algèbre linéaire
Algèbres associatives de dimension finie (figure dans la partie "Anneaux" du programme)
Pivot de Gauss et applications.
Polynôme minimal, Cayley-Hamilton, décomposition de Jordan-Chevalley ("Dunford")	Matthieu
Étude de K[u] (lien avec les polynômes)	Matthieu
Exponentielle de matrices, surjectivité lorsque K=ℂ	Matthieu
SLₙ(K), GLₙ(K), PSLₙ(K) : générateurs, simplicité (Faire lien avec Aₙ et PSOₙ(ℝ))	Christophe
Topologie sur les ensembles de matrices
Réduction de Jordan (au moins le cas des nilpotents)
Dénombrements de matrices sur les corps finis (GLₙ et autres)
Théorie des groupes
Simplicité, classification des groupes finis simples (culture) (Parler de la CGFS permet de donner du sens à de nombreux concepts)
Groupes cycliques, groupes abéliens de type fini (Faire lien avec l'anneau ℤ/nℤ)
Transformée de Fourier discrète sur ℤ/nℤ, FFT
Actions de groupes, orbites (Lien avec formule de Burnside et isométries des polyèdres en dim ⩽3)
Actions de groupes et dénombrement
Théorèmes de Sylow	Lionel (TD)
Le groupe diédral sous tous ses angles (Faire lien avec le n-gone régulier. Mettre en évidence la structure de produit semi-direct)
Groupes d'ordre ⩽8 et/ou d'ordre ⩽12	Lionel (TD)
Groupes symétrique Sₙ et alterné Aₙ : générateurs, simplicité (Faire lien avec PSLₙ(K) et PSOₙ(ℝ))
Représentations linéaires des groupes finis (Faire lien avec isométries du cube et du tétraèdre) - hors programme	Matthieu? ou à l'ENS uniquement?
Anneaux, corps, polynômes
Anneau ℤ/nℤ, théorème chinois, automorphismes, indicatrice d'Euler, inversibles
Théorie des corps finis : existence et unicité, représentations additive et multiplicative	Lionel (TD)
Polynômes en une variable : racines, corps de décomposition, extensions de corps
Polynômes en plusieurs variables, dérivation, polynômes homogènes	Agnès
Polynômes symétriques, relations coef-racine, sommes de Newton	Agnès
Divisibilité, anneaux factoriels	Agnès
Racines de l'unité, polynômes cyclotomiques
Formes bilinéaires et quadratiques
Elements de base
Algorithme de Gauß et loi d'inertie de Sylvester, orthogonalisation de Gram-Schmidt
Oₙ(ℝ) : générateurs, endom symétriques et normaux, diagonalisation, décomposition polaire dans GLₙ(ℝ), réduction simultanée de deux formes quadratiques dont l'une est >0
Réduction des endomorphismes symétriques et hermitiens
Oₙ(ℝ), SOₙ(ℝ), PSOₙ(ℝ) : générateurs, simplicité (Faire lien avec PSLₙ(K) et Aₙ)
Uₙ(ℂ), endom hermitiens et normaux, diagonalisation, décomposition polaire dans GLₙ(ℂ)
Géométries affine et euclidienne
Espaces affines, applications affines. Barycentres	Lionel (TD)
Coniques affines euclidiennes	Lionel
Polygones réguliers, isométries. Cas du n-gone, du cube et du tétraèdre (Faire lien avec le groupe diédral. Faire lien avec représentations)