Ceci est le journal de bord de l'année 2022-2023. Allez ici pour les journaux des autres années.

Feuille TD 1 : Suites & Séries numériques.

Avant le TD, relire un cours de premier cycle sur les comportements de suites, les développements asymptotiques, et les méthodes d'études de séries numériques. Critères classiques de convergence, comparaison série intégrales, transformation d'Abel.

Étude de développements asymptotiques de suites. Étude de la série harmonique.

1. prise en main du programme de l'agrégation et de la liste des leçons d'algèbre
   
2. méthodologie pour travailler pendant l'année ; méthodologie pour préparer une leçon
   
3. lecture critique de la liste des leçons : organisation par paquets thématiques
   
4. méthodologie de la présentation du plan en 6 min, commentaires et questions.

Algèbre linéaire, groupes, anneaux, corps, polynômes, formes bilinéaires et quadratiques, géométrie. Feuille d'exercices

Interpolation polynomiale. Polynôme de Lagrange. Méthode des différences divisées. Coût de calcul. Erreur d'interpolation pour des fonctions régulières. Propriétés remarquables des points de Chebyshev. Propriété de convergence uniforme pour des fonctions analytiques. Analyse fonctionnelle de l'interpolation par l'utilisation du théorème de Weierstrass et les estimations des constantes de Lebesgue. Notes de cours 2021

Rappels de probas de tronc commun (I) Tribus, probas, variables aléatoires. Classes monotones Probas conditionnelles Loi du 0-1, Borel Cantelli

Une vidéo de complément de JC Breton à regarder après le cours https://video.univ-rennes1.fr/permalink/v12640756dfb7zr4dq07/

Formes quadratiques et coniques 1: formes quadratiques

• formes quadratiques, formes bilinéaires; polarisation
• lien avec la dualité
• noyau, cône isotrope, orthogonalité
• plan hyperbolique
• existence de bases orthogonales
• réduction sur un corps algébriquement clos
• réduction sur ℝ, signature, réduction simultanée (théorème spectral)
• réduction sur les corps finis

Rappels probas tronc commun (II) Loi d'une v.a. fonction de répartition, densité, espérance, corrélation, indépendance

Formes quadratiques et coniques 2: coniques affines et coniques euclidiennes

• définition des coniques
• mini-explication culturelle sur la géométrie projective
• coniques propres et coniques dégénérées
• classification affine et classification métrique
• définition par foyer, directrice et excentricité
• définition bifocale

Rappels probas de tronc commun (III)

Fonction génératrice, fonction caractéristique, somme de variables aléatoires indépendantes

Thèmes:

• formes quadratiques
• groupe des isométries d'une forme quadratique
• actions de groupes
• anneau ℤ des entiers
• carrés dans les corps finis

Suites & Séries numériques (II).

Préparer les exercices 2, 4, 8, 10, 11, 13, 16, 19 pour passer au tableau.

Formule de Stirling, comparaison série intégrale, convergence en moyenne de Cesaro, …

Méthodologie de préparation d'une leçon : après choix d'un titre de leçon, réflexion collective sur le contenu puis organisation de ces éléments en un plan cohérent avec développements. Nous travaillerons sur l'une des leçons suivantes, à choisir en fonction des envies de la salle : 101, 108, 153, 190, 191

Polynômes de Bernstein : amélioration de la vitesse pour des fonctions plus régulières (lien avec la loi forte des grands nombres) ; version théorème central limite de la convergence ; convergence des dérivées. Derniers exercices autour du théorème de Stone-Weiertrass.

Valeurs propres 1

Algèbre linéaire 1

• notion de complexité d'un algorithme
• multiplication et inversion rapides de matrices
• rappels autour du pivot de Gauss
• décompositions LU, LUP, Choleski, QR

Séries de Fourier:

• Théorèmes de Féjer et de Dirichlet
• Approximation uniforme par des séries de Fourier et lien avec le théorème de Weierstrass
• Théorie L2 des séries de Fourier
• Liens entre analyse complexe et séries de Fourier
• Applications: Problème de Dirichlet pour le disque, théorème d'équidistribution de Weyl

Analyse qualitative des EDO. Cauchy-Lipschitz local, global, Lemme de Gronwall, Sortie de tout compact, Analyse qualitative : points d'équilibre et stabilité linéaire, portrait de phase. Notes de cours 2022

Séries de Fourier: suite des CC du 14/9

Simulation de variables aléatoires et applications 1

Résumé des deux séances :

1. Résultats fondamentaux. Théorème de projection sur un convexe fermé, théorème du supplémentaire orthogonal, critère de densité, théorème de Riesz, théorème de Lax-Milgram, diverses applications de tous les résultats, exemples et contre-exemples.
2. Résolution de problèmes elliptiques. Brefs rappels sur les distributions, définition des espaces de Sobolev H^1 et H^1_0 (en dimension 1), propriétés de ces espaces, inégalité de Poincaré, utilisation des théorèmes de Riesz et de Lax-Milgram pour résoudre des problèmes elliptiques (formulation variationnelle).

Résumé des deux séances :

Extensions de corps, extensions algébriques, extensions finies. Polynômes irréductibles. Corps de rupture, corps de décomposition. Clôtures algébriques. Théorème de l'élément primitif. Exemples et applications.

Equations différentielles. Correction des exercices envoyée par mail.

Nombre de recouvrement et entropie métrique d’un espace compact. Calcul dans le cas de la boule unité en norme lipschitz dans l’espace des fonctions continues. Utilisation dans des inégalités de déviation en probabilités. Méthode de Newton.

Définitions, exemples (faciles et moins faciles), théorèmes d'isomorphisme, groupes simples, groupes résolubles

Les différents types de convergences. LGN (L2), LFGN (L4), TCL, le Théorème Bernstein.

Approximation numériques des EDO. Erreur de quadrature. Principales méthodes d'intégration numériques des EDO. Analyse-type sur l'exemple d'Euler explicite pour une EDO linéaire. Consistance. Stabilité. Convergence. Notes de cours 2022

Algèbre de dimension finie : exemples des algèbres de groupes finis et de End(E). Sous-algèbre engendrée par un élément et polynôme en cet élément. Cas des endomorphismes : lemme des noyaux, Cayley-Hamilton, noyaux itérés et conséquences. Quelques exercices pour accompagner ce rappel de cours se trouvent ici.

Transformée de Fourier discrète et rapide

Rappels probas de tronc commun -IV.

Convergences, loi des grands nombres, TCL

Simulation de variables aléatoires et applications 2

Thèmes:

• Séries numériques;
• Intégration;
• Espaces vectoriels normés;
• Applications linéaires continues;
• Espaces de Hilbert;
• Séries de Fourier

Séance annulée

Séance reportée

Équations non-linéaires, Newton

Racines de l'unité, polynômes cyclotomiques, carrés dans les corps finis.

Espaces de Hilbert. Grands théorèmes (Hahn-Banach, Lax-Milgram). Notes de Cours

Complément: Feuille d'exercices Corrigé des exercices faits

Algèbre linéaire 2

• algèbre linéaire sur ℚ et k[X]
• méthodes modulaires
• polynôme caractéristique par la méthode de Le Verrier
• algorithme de Gauss-Bareiss
• polynôme caractéristique par la méthode de la matrice adjointe
• forme de Hessenberg

TD

Calcul différentiel II

Théorème des fonctions implicites, théorème d'inversion locale

Espaces affines, applications affines, barycentres.

Fonctions vectorielles de Leibnitz, fonctions scalaires de Leibnitz.

On continue avec la réduction des endomorphismes : diagonalisation, trigonalisation, réduction de Jordan–Chevalley, réduction de Jordan. Lien avec les tableaux de Young et description des classes de similitude sur C. La feuille d'exercices a été complétée pdf (je ne la réimprimerai pas).

Bases hilbertiennes, exemples. Bases de polynômes orthognaux. Exercice 6. Notes de Cours mises à jour

Complément: Feuille d'exercices , Corrigé des exercices 1 à 7 .

Théorèmes limite en probabilité

Théorème de point fixe de Picard (Banach). Application à la résolution approchée d’équations réelles , à la résolution d’équations fonctionnelles dont Fredholm et Volterra, à la convergence de semi-groupes. Variante portant sur les itérés, applications à l’équation de Volterra et à Cauchy-Lipschitz. Point fixe par compacité.

Groupes GL(E) et GL(n,K), groupes spéciaux linéaires. Générateurs, groupe dérivé, simplicité de PSL(E). Quotients de GL(E). Cas des corps finis, dénombrement, isomorphismes exceptionnels. Sous-groupes remarquables comme stabilisateurs d'actions : - sous-groupes de matrices triangulaires (filtrations et drapeaux) - sous-groupes orthogonaux (formes quadratiques) - sous-groupes finis de GL(n,R)

Cet écrit abordera les thèmes suivants :

• Réduction des endomorphismes.
• Réduction de Jordan des endormorphismes nilpotents.
• Corps finis.
• Groupes finis et leurs représentations linéaires.

Séance reportée

Séries de Fourier (suite des CC du 14/9 et 15/9) et remise des copies de l'Ecrit Blanc d'analyse du 25/9

Groupe orthogonal euclidien : réflexions orthogonales et retournements comme générateur de O(n,R) et SO(n,R), calcul des centres et des groupes dérivées de ces 2 groupes, réduction des isométries (en particulier connexité de SO(n,R)) et simplicité de PSO(n,R) pour n=3 et n≥5 (démonstration via des arguments de connexité dans le cas n=4). Le cas n=4 est évoqué.

Méthodes de Monte-Carlo

Espaces affines, sous-espaces affines, applications affines. Sous-espace engendré par une partie, familles affinement libres, affinement liées, repères affines. Barycentres et coordonnées barycentriques.

Théorème de Brouwer, applications classiques et variantes

Calcul différentiel (III)

TFI, TIL, compléments

Autour du polynôme minimal, du théorème de Cayley-Hamilton et de la décomposition de Dunford. polymincayley2022.pdf

Exposé: quaternions et groupe orthogonal.

Groupe des homothéties et translations, théorème de Pappus.

Exercices sur les isométries d'un espace affine euclidien.

Feuille d'exercices

TD

Espaces projectifs, sous-espaces projectifs, groupes projectifs. Homographies. Lien affine-projectif. Théorème de Desargues.

Théorèmes de Perron-Frobenius et application aux chaînes de Markov

Cours sur les représentations des groupes finis. Notes de cours : representations

Cours sur les représentations des groupes finis, suite.

Espaces L^p. Notes de cours.

Théorème de Schauder, dans ses deux formes usuelles. Applications à l’équation fonctionnelle de Fredholm et à Cauchy-Peano

Prérequis:

1. Bases hilbertiennes (voir Compléments), bases de polynômes trigonométriques et de polynômes orthogonaux.
2. Résolution des edps par la Méthode de séparation des variables.
3. Sous-groupes de R: les résultats de base.
4. Variables aléatoires: calculs d'espérance et de variance.

Corrigé et Statistiques

Les copies seront rendues le 9/11 par V. Duchêne.

Algorithme de Gauss et loi d’inertie de Sylvester, orthogonalisation de Gram-Schmidt gaussinertie2022.pdf Pas eu le temps de discuter d'exercices ,sur Gram-Schmidt

Suite du cours sur les représentations de groupes finis.

Grands théorèmes de l'Analyse fonctionnelle (Hahn-Banach, Lax-Milgram, Notes de Cours

Complément: Feuille d'exercices et Corrigé des exercices

Analyse complexe (Séance 1/3) : Fonctions holomorphes, lien avec l'analycité, formule de Cauchy et conséquences.

Rappels sur les distributions : definition, continuite de l'action d'une distribution sur une fonction reguliere a support compact, notion de convergence d'une suite de distribution, derivation d'une distribution, continuite de l'operation de derivation sur les distributions.

Formule du crible, inversion de Möbius, actions de groupes, séries formelles, partitions.

Structures sur les anneaux.

Le but est d'étudier comment étendre les résultats connus sur la similitude des matrices, l'irréductibilité des polynômes, la classification des espaces vectoriels, à des structures définies sur un anneau plutôt que sur un corps.

Feuille d'exercices

Transformée de Fourier dans L^1 et dans L^2. Définitions, propriétés.

Application à certaines équations aux dérivées partielles.

Notes de cours.

Structures sur les anneaux. Feuille d'exercices Corrigé

Suite des revisions sur les distributions : la formule des sauts en dimension un, puis la formule des sauts en dimension quelconque. Quelques rappels calculatoires sur l'integration par parties en dimension quelconque.

Formule du crible, inversion de Möbius, actions de groupes, séries formelles, partitions.

Résumé des 3 séances :

Convexité. Thm de projection. Fonction convexe, lien avec la régularité. Existence d'extrema, caractérisation des extrema, extrema liés. Méthodes de gradient

Calcul différentiel

• Généralités sur les applications différentiables de plusieurs variables
• Difféomorphismes; théorème d'inversion locale; théorème des fonctions implicites.
• Sous-variétés de R^n
• Formule de Taylor-Young,
• Extrema locaux

feuille TD 1

Commentaire de l'écrit blanc.

Exercice sur la classification affine des coniques.

Analyse complexe(2/3): Propriétés analytiques des fonctions holomorphes (zéros isolés, principe du maximum, …), primitives holomorphes, simple connexité.

Thèmes :

• Arithmétique des anneaux Z et K[X], réduction modulo p
• Les corps finis
• Les modules de type fini sur les anneaux principaux
• Réductions de Jordan et Frobenius des endomorphismes

Transformation de Fourier sur les distributions temperees. Definition par dualite, echange de derivation et produit, echange de produit de convolution et de produit. Exemples simples.

Exposé: théorèmes de Sylow

Exercices:

• applications des théorèmes de Sylow
• groupes (non) simples
• cardinaux de groupes de matrices sur des corps finis

Cas linéaires, sommes de carrés, équation de Fermat, autres exemples.

Calcul différentiel: suite de la séance du 16/11

Suite et fin du cours sur les représentations de groupes finis. Notes de cours : RLGF_cours_du_22_nov_2022

Suite de la transformation de Fourier des distributions. Le cas de la fonction de Heaviside, lien avec la valeur principale de 1/x en dimension 1. Puis etude de l'equation de transport (lineaire et non-lineaire) en dimension 1, methode des caracteristiques, et flot d'une equation differentielle, Dans le cas de l'equation de transport non-lineaire, apparition naturelle d'une singularite, meme pour une donnee initiale reguliere : on illustre ici la necessite de travailler avec des espaces de fonctions peu regulieres. Pour terminer, reponses a des questions libres autour des equations differentielles, et autour de la notion d'equation differentielle linearisee.

Exposé: notion d'angle en géométrie

Exercices: groupes simples d'ordre 60, par les 2-Sylow et par les 5-Sylow (feuille)

Point de vue des actions de groupes sur la géométrie affine, euclidienne, projective, circulaire. Recherche d'invariants : angles, aires. Invariants polynomiaux, théorème de Molien. Exemples de démonstrations où on se ramène à un cas plus simple par action de groupe : Desargues, Steiner…

Exponentielle de matrices.

Analyse complexe(3/3): Logarithmes complexes, singularités, fonctions meromorphes.

Notes : analyse_complexe_3_.pdf

Thèmes :

• Fonctions définies par une intégrale.
• Opérateurs linéaires continus.
• Espaces L^p.
• Lois de probabilités.

Exposé: isométries d'un espace affine euclidien (reporté)

Exercices:

• exercices sur les corps finis (feuille)
• signature du morphisme de Frobenius (feuille)

suite du TD precedent sur les distributions, l'analyse de Fourier.

Définition par foyer et directrice, équations cartésiennes, définition bifocale, équation polaire, tangentes.

Calcul différentiel: suite des séances du 16/11 et 23/11

Groupes abéliens de type fini, groupes cycliques. Feuille de la séance. Corrigé des exercices.

Topologie sur les ensembles de matrices. Feuille de la séance.

Algèbre linéaire, exponentielle de matrices, analyse complexe, …

Ce TD a finalement ete reporte au 23 Janvier.

On y a vu les injections de SObolev, dans une version simple, en etudiant une preuve utilisant la transformee de Fourier, et une preuve par estimation directe en etudiant la difference u(x)-u(y). On a vu l'interet de ces injections dans la manipulation de fonction non lineaires de l'inconnue. On a aussi reparle de l'equation d'Euler des fluides incompressibles en dimension 1 d'espace.

Exposé: espaces vectoriels de dimension finie, les théorèmes fondamentaux

Exposé: Cayley-Hamilton et ses applications

Exercices: groupe diédral, isométries du tétraèdre et du cube (reporté)

Calcul différentiel: suite des séances du 16/11, 23/11 et 7/12

feuille TD 2

Petits groupes, notamment les groupes diédraux et produit semi-direct.

Distributions, espace de Schwartz et EDP. Partie 1

• rappels de base sur les distrib : semi-normes, fonctions tests, distributions, support d'une distribution, dérivation, convergence, convolution
• définition de l'espace de Schwartz, lien avec la transformée de Fourier, propriétés de base, distributions tempérées, transformée de Fourier version distributions

Notes de cours

Distributions, espace de Schwartz et EDP. Partie 2

• Exemples de calculs de transformée de Fourier
• Théorèmes de Paley-Wiener-Schwartz
• Construction des espaces de Sobolev et propriétés de base

Notes de cours

Transformation de Fourier, intégrales à paramètre, espaces de Hilbert…

Séries de fonctions, séries entières. Feuille 1 agreg_holo.pdf

Exposé: anneaux factoriels, principaux, euclidiens

Exposé: groupe orthogonal

Exercices: groupe diédral, isométries du tétraèdre et du cube

Espaces métriques complets

Théorème du point fixe de Banach

Compacité

Dimension d'espaces métriques compacts

Connexité

Feuille de TD

Exposé: isométries d'un espace affine euclidien

Exercices: coniques

Arithmétique des anneaux – anneaux factoriels Exercices sur l'arithmétique des anneaux

Séance déplacée au mardi 31 janvier à 10h15

Thèmes :

• polynômes, racines, relations coefficients racines ;
• polynômes irréductibles ;
• corps finis (surtout Z/pZ) ;
• espaces vectoriels euclidiens, Gram-Schmidt.

Polynômes en une variable : racines, corps de décomposition, extensions de corps. Feuille de la séance.

Suite de la séance du 11/1/2023

Suite des séances du 11/1/2023 et 25/1/2023

Distributions, espace de Schwartz et EDP. Partie 3

• Construction des espaces de Sobolev, cas de l'espace entier, d'un ouvert borné
• Inégalité de Poincaré, théorème de Rellich
• Application à la résolution de problèmes elliptiques avec Riesz, Lax-Milgram et Schauder.

Notes de cours

Thèmes :

• Séries entières, séries de Fourier.
• Séries de fonctions.
• Transformée de Fourier, transformée de Laplace.
• Fonctions méromorphes.
• Applications linéaires continues.

Corrigé et Statistiques